Das Schneckenproblem

Eine Schnecke sitzt vor einer 4.5 m hohen Mauer. Sie klettert jeden Tag 0.5 m nach oben, fällt aber in der Nacht 10 % ihrer erreichten Höhe nach unten. Wann ist sie oben?

Wir definieren a als die Strecke, die die Schnecke pro Tag nach oben klettert und b als den Faktor, um den die gesamte Strecke in der Nacht multipliziert wird, um das prozentuale Herunterfallen in der Nacht zu berechnen. Nach zwei Tagen und einer Nacht dazwischen hat die Schnecke also a*b+a m erreicht. Am Ende des dritten Tages ((a*b+a)*b+a und am Ende des fünften Tages (((a*b+a)*b+a)*b+a)*b+a. Das läßt sich vereinfachen:

Simplify[(((a*b + a)*b + a)*b + a)*b + a]

Es ist also eine geometrische Reihe: a (∑_(i = 0)^n) (b^i) was sich auch schreiben läßt als ((a ((b^(1 + n)) - 1))/(b - 1)). Da die Schnecke 0.5 m jeden Tag nach oben klettert, ist a=0.5 und 10 % herunterfallen pro Nacht enspricht b=0.9. Daher erreicht die Schnecke in n+1 Tagen die Höhe \(\(0.5\ \((0.9\^\(1 + n\) - 1)\)\)\/\(0.9 - 1\) = 
        5 - 4.5`*\ 0.9`\^n\). Die Lösung folgender Gleichung ergibt also die Anzahl Tage, die die Schnecke für 4.5 m braucht:

Solve[5 - 4.5*0.9^n == 4.5, n]

Gerundet also n=21, somit erreicht die Schnecke die 4.5 m am Endes des 22. Tages.

5 m erreicht die Schnecke übrigens nie:

Solve[5 - 4.5*0.9^n == 5, n]

da die Abstände asymptotisch immer kleiner werden, aber nie 5 erreichen:

Plot[0.5*Sum[0.9^i, {i, 0, n}], {n, 1, 100}]